Par exemple, en trois variables, XY + YZ + ZX est symétrique, alors que X2Y + Y2Z + Z2X ne l'est pas. Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l', propriété universelle des algèbres de polynômes, l'anneau des polynômes à coefficients dans, est un anneau commutatif (intègre si et seulement si, la première est celle utilisée dans les paragraphes précédents, une autre est plus concise. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels >> Introduction En algèbre, un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans un anneau A commutatif unitaire (et souvent intègre) est un élément d'une structure d'algèbre, qui est une extension de l' algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) Sur A[X], si P est le polynôme défini par le polynôme dP défini par si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P. L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de modules et donc de groupes vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP. 1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR Chapitre VII Polynômes à une indéterminée Dans ce cours, désigne ou un corps commutatif quelconque. g(�ćp�o�B��K�վ5΋�B�#��ŲBصp5.�&�[T���Q��6N3#7��6� p@�;���ۓU�v`�88�-5��R+bu����m3D[t�#�[�Y���Ur8�=И#�S�F�k��C}Gv���e3�Έ>4߭�>o ��N��B�H/*�i�ͧ�\�(&�p�?/rQkwj��Z+'"��1��-�"|�pn"�ӓe&3��HJrwp���&0������ƍ��cg� ����F]��!k;-`�ps�z��*��19N�����"������2�̳ �'�yg�dr��Yz)塐����B>�t�`=���|� ?�M����+�*�aF���"�����N�|�CH�=�/�g7�ٸ��P���Vs��/d�ӯ6>������x���. Elle permet une démonstration élégante de la propriété universelle des algèbres de polynômes[5]. § « Propriétés noethériennes » de l'article sur les entiers algébriques) et a fortiori, une ℤ-algèbre commutative de type fini, c'est-à-dire un quotient d'un ℤ[X1, … ,Xn], noethérien. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. x��ێ�6��_1}��E����l�t��bz4��ѮlO$;H�~��! On dit que (es)s∈S est une « base » de ce monoïde commutatif, au sens où tout élément de ℕ(S) s'écrit, de manière unique à l'ordre près des termes, comme une somme finie d'éléments es, avec répétitions éventuelles : (ks)s∈S est la somme des kses pour tous les ks non nuls. Un ensemble algébrique dans kn est l'intersection des zéros d'une famille de polynômes dans k[X1, … , Xn]. Le monoïde MS des monômes unitaires est le même monoïde commutatif libre sur S mais noté multiplicativement, et sa base canonique est notée (Xs)s∈S. Tout polynôme P de degré (total) d est, de façon unique, somme de polynômes homogènes P0, … , Pd de degrés respectifs 0, … , d. On appelle alors Pi la composante homogène de degré i de P. Dans l'exemple non homogène ci-dessus, la composante homogène de degré 3 est 2X3 – 5Y3, celle de degré 5 est X2Y3 et les autres composantes homogènes sont nulles. I���.h�x�Å[ռ��;Dž�}nq�v3i�s�#v�� 5�)�q�q������ ��O�Dt�9mC����ξl���T������nϞ~��" ���DX�Q׋����s��O��ۖ~!�j�Ҧ!8�*��}��]ߜ�]s<6{Ľ]�a� +�c�����w��u�}�/=4+�Y�d�2�@Ll�o��\w1݉���F�qX�U����vK�g�DD�O��> DN��9��-�~����NdU6���+:��W3���J�p�% �`��C����+�qF^0^�v�W�vkKU�Eb� ����%�@���5��k����j~�ja|���|�0ϙ�:>�W���ic+L�R9+z���8����@���� A�;I��8)��L����0?+"�����y����p;�)�4�`�i�����:M�p��K0���"�b�P2�P? Dans la suite de l'article, A désigne un anneau commutatif unitaire et le terme de A-algèbre désigne une algèbre associative et unifère. Il est également possible d'introduire les puissances négatives d'une variable et d'obtenir ainsi un anneau A[X,X − 1] dit de Laurent. /Length 4483 La construction par induction de l'anneau des polynômes en un nombre fini ou infini d'indéterminées permet d'en déduire[6] : Ce transfert de factorialité est un peu différent de celui de noethérianité. Page générée en 0.349 seconde(s) - site hébergé chez Amen, (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :), (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y,...), (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les...), (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Une propriété importante du polynôme dérivé est le fait qu'une racine est multiple si et seulement si elle est aussi racine du polynôme dérivé. Polynôme en plusieurs indéterminées Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X]. Le nombre d'indéterminées n'est pas 1. À l'ensemble (quelconque) S des indices des indéterminées, on associe le monoïde commutatif libre sur S. En notation additive, on peut se le représenter comme l'ensemble ℕ(S) des applications de S dans ℕ à support fini — c'est-à-dire des familles (ks)s∈S d'entiers naturels dont tous sont nuls sauf un nombre fini — muni de l'addition terme à terme. En conséquence : Si un anneau A est factoriel, A[X] l'est encore. « une propriété universelle, trop souvent négligée ». Dans le cas d'une unique indéterminée, la notion de degré permet d'établir le théorème de la base de Hilbert : si A est noethérien, A[X] l'est aussi. Elle consiste à noter. L'ensemble des zéros (en) d'un polynôme f(X1, … , Xn) à coefficients dans k est l'ensemble des points (x1, … , xn) dans kn tels que f(x1, … , xn) = 0. /Filter /FlateDecode Cette proposition ne s'étend pas aux anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées : l'anneau A[X, Y] n'est même pas principal car dans cet anneau, l'idéal (X, Y) engendré par X et Y n'est pas principal. �J�X��Y�Þ~o�"؅K�=l5���;��#��_�DA��`���� �OK�2 =�k0� Les ensembles algébriques sont à la base de la géométrie algébrique. On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme...). Plus généralement, la propriété universelle suivante caractérise les algèbres de polynômes : Soient B une A-algèbre commutative et (bs)s∈S une famille d'éléments de B. Il existe un unique morphisme φ de A-algèbres, de A[(Xs)s∈S] dans B, tel que. Définissons l'anneau A[X1, … , Xn] des polynômes à coefficients dans A en n indéterminées, par récurrence sur n[1] : On vérifie instantanément (par récurrence) que A[X1, … , Xn] ainsi défini : Concrètement, un élément de A[X1, … , Xn] s'écrit comme une somme finie : et chaque Pj s'écrit lui-même comme une somme finie : ou encore, en choisissant un majorant d de m, d0, … , dm et en complétant par des zéros la liste des Pj et des coefficients dans A : On remarque, en examinant la définition ci-dessus, que : Ceci permet de définir l'anneau A[(Xs)s∈S] pour n'importe quel ensemble S (non nécessairement fini ni même dénombrable) comme la réunion (appelée « limite inductive Â») des A[(Xi)i∈I] pour toutes les parties finies I de S. Quelques propriétés élémentaires se déduisent immédiatement de cette définition : Une autre méthode de construction[2],[3],[4] — équivalente au sens où elle définit la même structure — consiste à « calquer Â» le raisonnement utilisé pour les polynômes en une indéterminée, cette fois non pas sur une suite mais sur une famille. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files. Du fait que l'anneau k[X1, … , Xn] est noethérien, il suffit toujours de prendre une famille finie de polynômes. Un simple calcul de dérivé montre alors que dP[X] = n(X − r)n − 1Q[X] + (X − r)ndQ[X]. D'après la définition par récurrence de A[X1, … ,Xn], on en déduit immédiatement : Ce résultat ne s'étend pas au cas d'un nombre infini d'indéterminées : dans A[(Xn)n∈ℕ], la suite des idéaux (X0, … , Xn) est strictement croissante, et l'anneau ne peut être noethérien. Sur un anneau intègre, le degré du produit de deux polynômes non nuls est égal à la somme des degrés de ces deux polynômes, comme dans le cas d'une seule indéterminée. On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme...), (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Le nombre d'indéterminées n'est pas nécessairement fini. UniversitéBordeaux1 MHT812–Master Mathématiques Année2014–2015 FEUILLED’EXERCICESno 11 Polynômes à plusieurs indéterminées Dans ce travail, on utilisera l’ordre lexicographique ˚lex sur les monômes et aussiparfoisl Elle est utile dans la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Contrairement aux polynômes homogènes, les polynômes symétriques sont stables par addition et multiplication, et forment un sous-anneau de l'anneau des polynômes. En...), (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. À ce titre, c'est une application de dérivation, dans un anneau. Autrement dit, tout monôme unitaire s'écrit de manière unique comme un produit fini de puissances des Xs. D'après un résultat fondamental de théorie algébrique des nombres, tout anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres est un ℤ-module de type fini (cf. Il est alors nécessaire de rechercher des propriétés plus faibles. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction...), (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...), (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire...), (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de...), (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie...), (On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . En...). L'anneau des polynômes en plusieurs d'indéterminées, à coefficients dans A, est factoriel si et seulement si A l'est. 3 0 obj << Ce transfert de factorialité est un peu différent de celui de noethérianité. Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Formes indéterminées Quand on calcule des limites, les formes suivantes sont indéterminées : Formes indéterminées 0×∞ ∞ ∞ 0 0 +∞− ∞ Indéterminations levées par le cours Polynômes… En algèbre, un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans un anneau commutatif unitaire A est un élément d'une A-algèbre associative qui généralise l'algèbre A[X] des polynômes en une indéterminée X. Un polynôme homogène de degré d (entier positif ou nul) est une combinaison linéaire de monômes de degré d. Le polynôme nul est ici considéré comme étant de degré d pour tout d. Par exemple, en deux variables, 2X3 + X2Y – 5Y3 est homogène de degré 3, tandis que 2X3 + X2Y3 – 5Y3 n'est pas homogène. Une autre manière d'exprimer la décomposition en composantes homogènes est de dire que A[X1, … , Xn] est la somme directe des Ad[X1, … , Xn], où d parcourt les entiers positifs ou nuls et où Ad[X1, … , Xn] est le sous-A-module des polynômes homogènes de degré d. On note que le produit de deux polynômes homogènes de degrés respectifs d, e est homogène de degré d + e, alors que leur somme n'est homogène que si d = e. Un polynôme à n variables est symétrique s'il est invariant par permutation de deux variables quelconques. Une première mondiale: un satellite propulsé à l'iode, Une nouvelle méthode pour doper l'apprentissage des maths, Un autre langage mathématique pour résoudre les contradictions de la physique classique, Une simple soustraction piège des experts mathématiciens. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession...), (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale,...), (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Alors, pour toute A-algèbre commutative B et tout n-uplet (b1, … , bn) dans B, il existe un unique morphisme de A-algèbres de A[X1, … , Xn] dans B, appelé « morphisme d'évaluation », qui envoie chaque Xi sur le bi de même indice. Cet arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie...) s'avère importante pour la factorisation des polynômes (On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif . Par extension métonymique,...) d'une décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en éléments simples d'une fraction rationnelle ou d'un développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction...). Note sur les polynˆomes `a plusieurs ind ´etermin ´ees Daniel Ferrand (Novembre 2005) La correction de copies m’a fait penser qu’un r´esum´e, en forme de guide de lecture, serait peut-ˆetre utile aux agr´egatifs sur ce sujet. Si K est un corps commutatif, l'anneau K[X] dispose de deux divisions. Préparation à l’agrégation externe de Mathématiques Travaux dirigés Université de Rennes 1 2013-2014 Polynômes à plusieurs indéterminées Zéros – Prolongement des identitées Exercice 1. )R�=�L���e$�zx�j�~����ey�9������W��*�b��W/7?/�qX��q��f��E�N=�����b���8�[j��}������p���W�*m�ʹ�2��������`z�d�R��_2!��i�-h�~cV�2Vd2^[���#X�96���� Z�,�4:���˫�UZ"ZW"S�@ȅf\�f���mL���r�|Y��i衫76��K�g@ Q.��3h�o�8)#�BdY9AƕdBW+xJ�ͦ? stream Plus directement — que I soit fini ou infini — A[(Xi)i∈I] peut être définie comme l'algèbre d'un monoïde : on décrit d'abord le monoïde des monômes unitaires (les produits d'un nombre fini d'indéterminées Xi, éventuellement répétées), et les polynômes sont ensuite définis comme les combinaisons linéaires formelles à coefficients dans A de tels monômes. %PDF-1.4 est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées. L'adolescence dure-t-elle jusqu'à 24 ans ? Il est suivi Comment battre de nouveaux records au 200 mètres ? On peut construire l'algèbre A[X1, … , Xn] des polynômes en un nombre fini n d'indéterminées par récurrence sur n : c'est l'algèbre des polynômes en une indéterminée Xn, à coefficients dans l'anneau A[X1, … , Xn–1]. L'anneau A[(Xs)s∈S] est alors défini comme l'algèbre A[MS] du monoïde MS : un polynôme P est une combinaison linéaire formelle à coefficients dans A de monômes unitaires. La deuxième est dite selon les puissances croissantes. Cette propriété, jointe au théorème de factorisation, montre que toute A-algèbre commutative de type fini est un quotient d'un A[X1, … , Xn] ; elle est donc essentielle pour la construction de morphismes d'une telle algèbre vers une autre A-algèbre commutative. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession...) est un domaine important de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale,...). I – Rappels, opérations générales 1. Il se représente donc comme une application de ℕ(S) dans A à support fini : l'application qui, à chaque famille (ks)s∈S d'entiers presque tous nuls, associe le coefficient dans P du monôme ∏s∈SXsks qu'elle représente. Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007). Le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) du polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y,...) sera alors la plus grande valeur obtenue en faisant les somme des exposants de chaque indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des objets comme les polynômes formels, les fractions rationnelles ou encore les...) dans chaque monôme (À la fin XIXe siècle, le monôme était une manifestation étudiante sous la forme d'un cortège ou d'une procession en file indienne. Par extension métonymique,...), (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...), (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction...). L'algèbre A[(Xi)i∈I] des polynômes en un nombre quelconque d'indéterminées Xi, indexées par un ensemble I quelconque (éventuellement infini), peut alors être définie comme la « réunion Â» des A[(Xi)i∈J] pour toutes les parties finies J de I. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. This article is issued from Wikipédia - version of the Wednesday, October 21, 2015. Il est...), (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. En revanche, la factorialité ne passant pas aux quotients, il existe des corps de nombres (et même des corps quadratiques) dont l'anneau des entiers n'est pas factoriel. Notons es (pour tout s ∈ S) l'élément de ce monoïde constitué de la fonction de S dans ℕ qui vaut zéro partout sauf en s ou elle vaut 1. Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X]. Donner un polynôme P ∈ R[X1,X2] qui a une infinité de zéros dans R2 mais Soit k un corps algébriquement clos. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 7 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. Déclin des conifères pendant les refroidissements climatiques, Elaboration des premières OLEDs émettrices de lumière circulairement polarisée. � SpaceX: pour quand la privatisation de l'espace ? L'urbanisation entraîne un printemps précoce pour les plantes mais pas pour leurs pollinisateurs, Lien confirmé entre la maladie d'Alzheimer et le microbiote, Une lumière qui pourrait révéler de la vie extraterrestre sous la surface d'Europe. Si A est un corps commutatif, l'anneau A[X] est euclidien. La première est euclidienne et confère à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des polynômes une structure d'anneau euclidien (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif unitaire...) permettant d'y développer une arithmétique des polynômes (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de...) un peu analogue à celle des entiers. Ces polynômes sont également dits multivariés, par opposition aux polynômes univariés, à une seule variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Il est...). ���sNΘ�&������*0LF}�Uj� >!QN�_ 2�84�5��k��t�䬨 Certaines définitions concernant les polynômes en une indéterminée se généralisent : En revanche, les termes de « polynôme unitaire Â» ou « monôme dominant Â» n'ont plus de sens. En effet, dire qu'une racine r est multiple pour un polynôme P c'est dire qu'il existe n strictement supérieur à 1 et un polynôme Q[X] tel que P[X] = (X − r)nQ[X]. L'algèbre A[MS] est donc le A-module libre de base MS, muni de l'unique multiplication de A-algèbre qui prolonge la multiplication du monoïde MS. Il existe beaucoup de manières[5] de noter un polynôme P de A[(Xs)s∈S] : Considérons, pour simplifier, l'anneau des polynômes à n variables A[X1, … , Xn].

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